Deo zbornika Uvod u svet programiranja

Brojčani sistemi

Email Twitter LinkedIn Facebook Google

Razvoj sustava za zapisivanje brojeva možemo smatrati početkom matematike. Jedan od najranijih poznatih sustava razvili su Babilonci oko 2000 godine prije Krista.

Zapisivanje brojeva

Današnji način zapisivanja brojeva potječe iz Indije i vjerojatno je nastao krajem 6. stoljeća. Ponekad se takvi brojevi nazivaju arapskim, jer su ih u srednjem vijeku Arapi donijeli u Europu. Taj je sustav zapisivanja brojeva omogućio razvoj algoritama. U drugom poznatom sustavu, rimskom aditivno-suptraktivnom sustavu, računanje je vrlo nespretno. Pokušajte direktno pomnožiti brojeve CXVII i XXIV!

U indijsko-arapskom sustavu koristi se deset znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9. Značenje znamenaka ovisi o položaju broja, zato se takvi sustavi nazivaju pozicionim. Naprimjer, zapis 2562 znači:

2 * 10^3 + 5 * 10^2 + 6 * 10 + 2

(prva i zadnja znamenka 2 ne doprinose isto!)

Istaknuta uloga broja 10 posljedica je toga što ljudi imaju 10 prstiju. Na isti način možemo zapisivati brojeve koristeći se bilo kojim skupom od b različitih simbola, gdje je b ≥ 2 prirodan broj koji nazivamo bazom.

Tijekom povijesti koristili su se i sustavi s bazom 20, a spomenuti babilonski sustav bio je pozicioni s bazom 60. Babilonci ipak nisu imali 60 različitih simbola, nego su znamenke zapisivali aditivno s pomoću dvaju simbola (vidi sliku).

Brojevni sustavi u računarstvu

U računarstvu su posebno pogodni sustavi kojima je baza potencija od 2. Sustav s bazom b = 2 naziva se binarnim sustavom, sustav s bazom b = 3 ternarnim sustavom i tako dalje. Uobičajeni sustav s bazom b = 10 zovemo dekadskim sustavom, a koriste se i oktalni sustav (b = 8) te heksadecimalni sustav (b = 16).

Naprimjer, binarni broj 101101 znači:

1 · 2^5 + 0 · 2^4 + 1 · 2^3 + 1 · 2^2 + 0 · 2 + 1

A oktalni broj 2763 predstavlja:

2 · 8^3 + 7 · 8^2 + 6 · 8 + 3

U sustavima s bazom manjom od 10 kao znamenke koristimo podskup uobičajenih dekadskih znamenaka.

Heksadecimalni sistem

U heksadecimalnom sustavu trebamo 16 simbola, pa se uz dekadske znamenke koristimo slovima A, B, C, D, E i F koja redom predstavljaju brojeve od 10 do 15. Heksadecimalni broj (7A9FE) znači:

7 · 16^4 + 10 · 16^3 + 9 · 16^2 + 15 · 16 + 14

Općenito, u sustavu s bazom b skup simbola identificiramo s brojevima koje predstavljaju: {0, 1, 2, ..., b − 1}.

Izvor: Vedran Krčadinac, Osnove algoritama (predavanja), Zagreb, 2016./2017.